Bu soruya cevap Bayes teoremi kullanarak kesin olarak verilebilir.


Her iki taraf da P() (eğer sıfır değilse) ile bölünürse, ortaya çıkan şu ifade Bayes teoremidir:


10 dakikada Bayes Teoremi, İspatı ve Uygulama Örneği

Bayes teoremi çok kere daha ek kavramlar eklenerek, sanki daha olarak, ifade de edilir. Bunun için önce şu ifade kullanılır:

Ancak olasılığı objektif bir değer olarak gören ve olarak tayin eden () ekolüne bağlı olan istatistikçiler ile (veya Bayes tipi) ekolüne bağlı olan istatistikçiler arasında bu teoremin pratikte nasıl kullanılabileceği hakkında büyük bir fikir ayrılığı bulunmaktadır. ekolüne dahil olanlar olasılık değerlerini rastgele olaylarda meydana çıkma çokluluğuna göre veya ana kütlenin alt kümelerinin tam ana kütleye orantısı olarak saptanması gerekeceğini kabul etmektedirler. Bunlara göre yeni kanıtlar karşısında olasılık değerinin değişme imkânı yoktur. Bu nedenle ekolü için Bayes teoremi sadece koşulluluklar arasında ilişkiyi gösterir ve bunun pratikte kullanılma gücü küçüktür. Hâlbuki ekolüne göre olasılık gözlemcinin sübjektif belirsizlik ifadesidir. Bu nedenle olasılık değeri sübjektif olup, yeni kanıtlar geldikçe değiştirilebileceğine inanmakta ve böylece Bayes teoremini istatistik bir incelemenin temel taşı saymaktadırlar.

Bayes Teoremi: Hergün Kullandığınız Matematiksel Formül

O dönemlerde buna ters olasılık problemi deniyordu. Bayes buna bir çözüm buldu. Bayes olasılığı, gözlemleyemediğimiz değişkenleri içeren soruları yanıtlamada yardımcı olabilir. Bir madeni para atmak ve tura almak, gözlemlenen bir değişken olarak düşünülebilirken, madalyonun “adaleti” ni gözlemleyemeyiz.

Bayes olasılığının öncüsü Thomas Bayes adında bir İngiliz istatistikçiydi. 18. yüzyılda olasılık hakkında yeni bir düşünce biçimi geliştirdi ve Bayes teoremi olarak bilinen şeyin öncülünü formüle etti. O zamanlar genel soru “neden verilen bir etkinin olasılığı nedir?” Sorusuna çözüm bulmak yaygındı. Fakat “bir etki verilen bir olasılığın olasılığı nedir?” sorusuna bir çözüm üretilmiyordu.

Bayes Teoremi Poker Masalarında Uygulandı

Bu şekilde Bayes theoremi bir limit işlemin geliştirilmesi sonucu ile ortaya çıkarlar.



Buna benzer olan bir diğer ifade de toplam olasılık yasası için şöyle ortaya çıkartılabilir:

Aynı genel aralıklı hâl gibi bu formülde bulunan parçalara da özel isimler verilmiştir:
Dikkat edilirse burada biraz alışılmış notasyon karışıklığı kavramına kendimizi kaptırdık.

Burada (çok kere olarak ifade edilen) olayının olur. Bu Bayes teoremi formülüne konulunca Bayes teoremi için yeni alternatif bir formül elde edilir:

Poker masasi Bayes teorimi kumar masalarında denenmeye başladı

Formel bir teorem olarak Bayes teoremi, olasılık kavramını inceleyen tüm istatistikçi tarafından kabul edilir.

Ilişkisini kullanarak Bayes teoremi ortaya çıkartılır. Bu sonucu sözcüklerle şöyle de yazabiliriz:


Bayes teoremi, olasılık kuramı içinde incelenen önemli bir konudur

, örnek verilerin nasıl üretildiğini temsil eden bir dizi istatistiksel varsayım ve işlemi belirtir. İstatistiksel modellerin değiştirilebilen bir dizi parametresi vardır. Örneğin, bir madeni para, iki olası sonucu modelleyen bir örnekler olarak temsil edilebilir. Bernoulli dağılımının, tek bir sonucun olasılığına karşılık gelen tek bir parametresi vardır, bu da yüzlerden birinin üzerine düşme olasılığıdır. Veriler için iyi bir model tasarlamak Bayesci çıkarımın merkezinde yer alır. Çoğu durumda, modeller yalnızca gerçek süreci tahmin eder ve verileri etkileyen belirli faktörleri hesaba katmayabilir. Bayesci çıkarımda, olasılıklar model parametrelerine atanabilir. Parametreler olarak gösterilebilirler. Bayesci çıkarım, daha fazla kanıt elde edildikten veya öğrenildikten sonra olasılıkları güncellemek için yine Bayes teoremini kullanır.

3.2.1 Koşullu olasılıklar ve Bayes teoremi ..

Bu Bayes teoremi formulüne konulunca Bayes teoremi için yeni alternatif bir formül elde edilir:



Daha genel olarak, olay uzayının bir bölüntüsünü oluşturduğu göz önüne alınca, bu bölüntü içinde bulunan herhangi bir için şu ifade elde edilir:



Toplam olasılık yasası maddesine de bakınız.

Bahis oranı ve olabilirlilik orantısı şeklinde Bayes teoremi

Bayes teoremi çok daha düzgünce bir olabilirlik orantısı olan λ ile bahis oranı olan terimleri ile şöyle ifade edilir:



Burada

verilimişse olayının ;



kendi bahis oranı ve



olabilirlik orantısı olur.

Olasılık yoğunluk fonksiyonları ile Bayes teoremi

Bayes teoreminin sürekli olasılık dağılımlarına uygun olan bir şekli de vardır.

Bahis oranı ve olabilirlilik orantısı şeklinde bayes teoremi

Bayes teoremi çok daha düzgünce bir orantısı olan λ ile veya olan terimleri ile şöyle ifade edilir:

Olasılık ve İstatistik : Bayes Teoremi (Bayes Theorem)

Bayes teoremi bir sırasında ortaya çıkan bir rastgele ile bir diğer rastgele olay (eğer için kaybolmamış olasılık varsa, yani ise) için ve arasındaki ilişkidir, yani